Народився 26 грудня 1852 (7 січня 1853) року у Миколаєві в заможній сім'ї етнічного грека, адмірала Чорноморського Флоту Росії Миколи Андрійовича Аркаса.
Мати Софія Петрівна походила з давнього козацького роду Богдановичів, мала значний вплив на формування стійкого інтересу сина до української мови, культури, звичаїв. Микола Аркас доводився двоюрідним братом російському юристу, адвокату і судовому оратору Миколі Карабчевському. Їхні матері Софія Аркас і Любов Карабчевська були рідними сестрами — походили з давнього козацького роду Богдановичів. Їхній батько, Петро Григорович Богданович, 1793 року був переведений у Чорноморський флот із бунчукових товаришів Полтавського полку.
Дитячі та юнацькі роки пройшли на території Миколаївщини. Будучи сином високого імперського посадовця, він одягався в український народний одяг. Улітку — вишита сорочка та солом'яний бриль, взимку — смушкова шапка та свитка. Микола вперто його одягав, не зважаючи на роздратування батька.
Отримав різносторонню освіту в Училищі правознавства у Петербурзі та Одеській гімназії. Згодом навчався на фізико-математичному факультеті Новоросійського університету в Одесі.
Після завершення навчання (з 1875 до 1881 рр.) за родинною традицією М. Аркас служив у морському відомстві в Миколаєві.
У вільний від служби час віддавався улюбленій справі – збиранню і запису народних мелодій і вивченню історії України. Під впливом свого вчителя Петра Ніщинського – українського композитора, диригента, письменника – почав самотужки оволодівати музичними знаннями, композиторськими навичками і писати музику. Захоплювався мистецтвом кобзарів і бандуристів, яких запрошував до Миколаєва з усієї України, оселяв у своєму будинку.
Микола Миколайович Аркас був одружений з Ольгою Іванівною Шишкіною — дочкою військово-морського офіцера, капітана другого рангу Чорноморського флоту Івана Степановича Шишкіна. Він походив із старовинного боярського роду, пращуром якого був Феодосій Шишка, який перейшов з польсько-литовської держави (Речі Посполитої) 1556 р. служити Москві. У подружжя народилася дочка Оксана, сини Петро та Микола. Ольга Іванівна була помічницею Миколи Миколайовича в громадській діяльності чоловіка. Коли підросла донька Оксана, вона разом з нею допомагала Миколі Миколайовичу збирати українські народні пісні в різних місцях, у пошуках яких відвідувала села Миколаївщини та Полтавщини, записувала пісні селян своїх маєтків.
За ініціативою та коштом Миколи Аркаса та його дружини Ольги Іванівни в селі Христофорівка — маєтностях родини Аркасів, було побудовано земську школу, регулярне навчання в якій розпочалося восени 1890 року.
25 лютого 1907 року засновава миколаївську «Просвіту», яка разом з Київською і Одеською була за результатами діяльності одною з найкращих в підросійській Україні. Як меценат Микола Аркас значною мірою покривав фінансові потреби «Просвіти», допомагав газеті «Рада», Михайлові Грушевському надіслав гроші на будівництво студентського гуртожитку у Львові. Був членом Миколаївського товариства аматорів природи.
Микола Аркас зібрав значну бібліотеку, зокрема історичну (кілька тисяч книжок)
Помер 13 (26) березня 1909 року в Миколаєві від несподіваного серцевого нападу. На похороні Миколи Аркаса були присутніми близько 10 тисяч осіб. Його поховано поруч з церквою на миколаївському Некрополі в сімейному склепі поряд з батьками.
Ухвалою виконкому Миколаївської обласної ради депутатів трудящих від 2 липня 1971 року склеп Аркасів охороняється як пам'ятка історії та культури.
